Περί Τέχνης, Γεωμετρίας και….Αρχιτεκτονικής…..

Standard

  

α. Τετράγωνο (χώρος 2 διαστάσεων) και το ευθύγραμμο ανάπτυγμά του (χώρος μιάς διάστασης)

 

  

 β. Κύβος (χώρος τριών διαστάσεων και το ανάπτυγμά του (χώρος δύο διαστάσεων)

γ. Προβολή ενός τετραδιάστατου υπερκύβου στο χώρο τριών διαστάσεων

δ. Ανάπτυγμα του τετραδιάστατου υπερκύβου στο χώρο των τριών διαστάσεων.

Οι οκτώ κύβοι που αποτελούν την υπερεπιφάνεια του τετραδιάστατου υπερκύβου δίνονται στο σχήμα (γ) και στο ανάπτυγμα του σχήματος (δ). Ένας τετραδιάστατος υπεράνθρωπος (με τρισδιάστατους αμφιβληστροειδείς) θα χειρίζεται τον υπερκύβο κατά έναν αδιανόητο για τον τρισδιάστατο άνθρωπο τρόπο. Θα μπορούσε να αγγίζει οποιοδήποτε σημείο μέσα στους οκτώ επιμέρους κύβους του υπερκύβου με τη μύτη μιας βελόνας, χωρίς η βελόνα να αγγίξει άλλο σημείο του υπερκύβου.Τα σημεία των επιμέρους κύβων  του υπερκύβου είναι εσωτερικά μόνο για μας τους τρισδιάστατους ανθρώπους, ενώ για τον τετραδιάστατο υπεράνθρωπο είναι όλα εξωτερικά.Όπως γίνεται φανερό, ένας υπερκύβος δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί γραφικά (έχει 8 τρισδιάστατες, 24 δισδιάστατες, 32 μονοδιάστατες (ακμές) όψεις και 16 κορυφές (μηδενικής διάστασης).

Το ίδιο συμβαίνει για κάθε μορφή του τετραδιάστατου υπερχώρου. Συνεπώς συμπεραίνουμε ότι οι μορφές του Σύμπαντός μας, που αποτελεί τετραδιάστατο υπερχώρο δεν είναι δυνατόν να γίνονται αντιληπτές παρά μόνο μέσω των προβολών τους στον τρισδιάστατο χώρο που γίνεται αντιληπτός μέσω των αισθήσεών μας.

Corpus Hybecubus, Salvador Dali, 1954

Ο πίνακας εκτίθεται στο Μητροπολιτικό Μουσείο της Νέας Υόρκης και παριστάνει τον Εσταυρωμένο πάνω στο ανάπτυγμα ενός Υπερκύβου που μοιάζει με σταυρό. Στο έργο αυτό είναι φανερός ο υπαινιγμός για την πραγματική φύση του Θεανθρώπου. Το μυστήριο της θείας φύσης Του κρύβεται στα νήματα της μη αισθητής φύσης του τετραδιάστατου υπερχώρου. Εκείνο που μπορούμε να κατανοήσουμε σε σχέση με αυτόν είναι η προβολή του υπεραισθητού γίγνεσθαι στον τρισδιάστατο χώρο.

(Από το βιβλίο των Μ.Δανέζη-Στρ.Θεοδοσίου, «Η Κοσμολογία της νόησης»)

Links:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube

http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourth_dimension

http://www.uni-koeln.de/ew-fak/Mathe/Projekte/VisuPro/literatur/html-version/forschungsartikel.htm

Vulpia.

 

Advertisements

9 responses »

  1. Συγχαρητήρια. Πολύ ωραίο άρθρο. Τις εκπομπές των Δανέζη-Θεοδοσίου τις παρακολουθώ πολύ συχνά και έχω διαβάσει και όλα τα βιβλία τους. Είναι ενας θρίαμβος μίξης επιστημονικότητας και εκλαικευσης για τον απλο μη ειδικό αναγνώστη.
    Μόνο που…..τι το ήθελες αυτο το «ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ» στον τίτλο?
    Τι σχέση έχουν οι Έλληνες Αρχιτεκτονες με Γεωμετρία και Τέχνη? Εκτος αν γεωμετρία ενοούν το Autocad και τεχνη την κατάντια της Ελληνικής πολης……

  2. Καλή ασυναρτησία. Ο Χάρι Πότερ κάνει πιο δύσκολα!

    Σοφόν από τους 8 υπερκύβους!!!
    «Όπως γίνεται φανερό, ένας υπερκύβος δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί γραφικά»!
    Μήπως μπορείς αγαπητέ/ή να μας ενημερώσεις αν 4 τετράγωνα που μπορούν να παρασταθούν γραφικά, μπορούν να αποτελέσουν ένα τετράγωνο που να τα περιέχει και άσε τους κύβους για αργότερα όταν θα έχει γίνει χυλός το μυαλό μας;

  3. Με αφορμή το τελευταίο σχόλιο από το Λάμπρο, θα ήθελα να σημειώσω ότι ο μεγαλύτερος κίνδυνος για ένα χυλωμένο μυαλό δεν είναι το περίπλοκο μιας θεωρίας, αλλά ο ΣΚΟΤΑΔΙΣΜΟΣ που εμποδίζει -την προσπάθεια έστω- να την κατανοήσουμε.
    Δηλαδή, αντί να προσπαθήσουμε να στύψουμε το μυαλό μας, με το που χάνουμε κάπου το νόημα να καταφεύγουμε σε άλλοθι περί ασυναρτησίας.
    Δεν είναι κακό να αδυνατούμε να κατανοήσουμε ότι αντιλαμβανόμαστε ένα ελάχιστο πεδίο του κόσμου λόγω της ανθρώπινης φύσης μας και των περιορισμένων αισθήσεων μας.
    Είναι έγκλημα όμως, όχι μόνο να μην μπαίνουμε στον κόπο να καταλάβουμε κάτι πέρα από αυτό αλλά να λοιδορούμε και από πάνω.
    Προφανώς, για το Λάμπρο το post θεωρήθηκε πολύ βαρύ για τα κυβικά του. Σε σημείο που ο vulpia συναγωνίζεται τον Χάρι Πότερ σε μαγικά. Μόνο που δεν πρόκειται για τον vulpia, αλλά για χιλιάδες επιστήμονες, φιλοσόφους και ερευνητές ανά τους αιώνες που μας έδωσαν την σημερινή κληρονομιά σε γνώση.

    Είναι γνωστή η ιστορία του Γαλιλαίου που -σε δύσκολους καιρούς- υποστήριξε ότι η Γη είναι σφαιρική και άκουσον-άκουσον κινείται! Και βεβαίως, αυτό θεωρήθηκε βλασφημία από την Ιερά Εξέταση που θα τον έκανε μπάρμπεκιου αν δεν ανακαλούσε.
    Τελικά ανακάλεσε και τη γλύτωσε, μουρμουρίζοντας όμως όταν έφευγε «..κι όμως κινείται…»

    Κι όμως κινείται αγαπητέ Λάμπρο, κι όμως κινείται….

  4. ieromnimon μου κάνει εντύπωση που χρησιμοποιείς το επιχείρημά μου για δικό σου, σχετικά με τον Γαλιλαίο και θα σου εξηγήσω γιατί.
    Χρησιμοποιείς επίσης το επιχείρημα:
    Μόνο που δεν πρόκειται για τον vulpia, αλλά για χιλιάδες επιστήμονες, φιλοσόφους και ερευνητές ανά τους αιώνες που μας έδωσαν την σημερινή κληρονομιά σε γνώση.

    Τότε, όχι μόνον οι χιλιάδες που αναφέρεις, άλλα ΟΛΟΙ πίστευαν ότι ο ήλιος γυρίζει γύρω από τη γη και ΟΛΟΙ έκαναν λάθος.
    Γιατί απαξιώνεις λοιπόν τη γνώμη του ενός και μάλιστα με αόριστα επιχειρήματα πλειοψηφίας, ενώ γνωρίζεις την ιστορία με τον Γαλιλαίο και την ιερά εξέταση; Μη γίνει σύγχυση βέβαια ότι αναβιβάζω το ύψος μου στο ύψος του Γαλιλαίου, αλλά κρίνω το επιχείρημά σου.
    Π.χ. το πυθαγόρειο θεώρημα λέει: Το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
    Έχει καταλήξει να ταυτιστεί με την απόλυτη αλήθεια και να αποτελεί τον θεμέλιο λίθο στα μαθηματικά. Αν όμως αυτό αποδειχθεί σε κάποια στροφή της ιστορίας, ότι είναι εσφαλμένο και δεν μπορούν 4 τετράγωνα να αποτελέσουν 1 που να τα περιέχει, συνεπάγεται ότι ούτε 8 κύβοι μπορούν να αποτελέσουν έναν κύβο που να τους περιέχει, όπως συνεπάγεται επίσης ότι η πρόταση για τετραδιάστατο υπερκύβο είναι ένα καθαρό παραμύθι, όταν δεν θα αποδεικνύεται η δυνατόητα κατασκευής στο άϋλο θεωρητικό επίπεδο, ούτε 1 τετραγώνου από 4 που να τα περιέχει, ούτε ενός κύβου από 8 κύβους που να τους περιέχει. Πολύ δεν περισσότερο έναν υπερκύβο της υπερφαντασίας.
    Το ίδιο ισχύει στη φυσική με τη θεωρία της σχετικότητας που οι προτάσεις της – περί χωροχρόνου – στηρίζονται στην προϋπόθεση της κυματικής φύσης του φωτός, της σχετικότητας της κίνησης και της ιδιότητας του φωτός να μεταφέρει σαν ΕΛΤΑ εικόνες στο χώρο.
    Αν αλλάξουν αυτά τα δεδομένα ο Αϊνστάιν θα είναι ένας γραφικός τύπος.
    Για να εξηγηθώ καλύτερα ως προς το αποφατικό σου «και όμως γυρίζει» δεν είναι τόπος να τα εμπλέξουμε όλα. Θα εμπλέξω μόνο το πυθαγόρειο και σε καλώ να απαντήσεις αν 4 τετράγωνα μπορούν να αποτελέσουν 1 τετράγωνο που να τα περιέχει. Αν απαντήσεις σε αυτό θεμελιωμένα, να δεχθώ ότι μπορεί στο επιστημονικό πεδίο και όχι στο επίπεδο της μαγείας πως μπορεί να υπάρξει 4η διάσταση, αφού ακόμα και ο χωρόχρόνος των Μινκόφσκι – Αϊνστάιν την τέταρτη διάσταση (χρόνος) την ερμηνεύει ΟΧΙ με τη γεωμετρική αντίληψη της Ευκλείδειας ή Νευτώνειας γεωμετετρίας περί διάστασης. Δεν πρόκειται δηλαδή για χωρική διάσταση.
    Επί ορθογωνίου ισοσκελούς, μπορείς να αποδείξεις ότι το τετράγωνο με πλευρά την υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών. Η απόδειξη αυτή θα σε δικαιώσει ότι όντως και 4 τετράγωνα μπορούν να αποτελέσουν 1 που να τα περιέχει, όπως και ότι 8 κύβοι μπορούν να αποτελέσουν 1 που να τους περιέχει και ενδεχομένως και ο υπερκύβος να βρίσκεται στα όρια του δυνατού.
    Θα χαρώ ειλικρινά να δεχθώ την απάντησή σου και αν δεν γνωρίζεις μαθηματικά (το υποψιάζομαι για να καταθέτεις τόσο απόλυτες απόψεις) μπορείς να ρωτήσεις φίλο σου ή γνωστό σου μαθηματικό να μου μεταφέρεις την άποψή του για να μπορέσουμε αν σε ενδιαφέρει να κάνουμε σοβαρή συζήτηση και όχι με πιθανολογήσεις.
    Χάρηκα που μου απάντησες και για την ηπιότητα που σε διακρίνει.
    Θα αποδειχθεί ότι μαθηματικά, δεν υπάρχει περίπτωση υπερκύβου και όντως δεν υπάρχει, όχι ένας, αλλά όλοι οι επιστήμονες του κόσμου να το υποστηρίζουν ieromnimon…

  5. Λάμπρο,

    πρέπει να επισημάνω ότι γράφοντας τα περί Χάρι Πότερ και ασυναρτησιών, έδωσες την εντύπωση της καθολικής απαξίωσης εκ μέρους σου λόγω άγνοιας, αλλά -μετά το δεύτερο σχόλιο- διαπίστωσα ότι οι ενστάσεις σου στηρίζονται αλλού.

    Είναι θετικό ότι υπάρχει αντίλογος, αν και υποψιάζομαι ότι η συλλογιστική σου κατατείνει στην αμφισβήτηση του πυρήνα του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
    Οπότε, τι να λέμε για τον υπερκύβο όταν δεν έχουμε αποδείξει τα στοιχειώδη, έτσι δεν είναι?

    Μου ζητάς να αποδείξω το Πυθαγόρειο Θεώρημα -ως ικανή και αναγκαία συνθήκη- για να προχωρήσουμε στην απάντηση του αν «τέσσερα τετράγωνα που μπορούν να παρασταθούν γραφικά, μπορούν να αποτελέσουν ένα τετράγωνο που να τα περιέχει».
    Όταν λες «να αποτελέσουν» εννοείς άθροιση σχημάτων, σχηματική αναπαράσταση, αριθμητικό άθροισμα των επιμέρους εμβαδών, τι ακριβώς? Γιατί αν εννοείς άθροιση σχημάτων μάλλον κάπου – κάτι ξεφεύγει.

    Έπειτα, αναφέρεσαι στην πιθανότητα να αποδειχτεί εσφαλμένο το Πυθαγόρειο σε μια στροφή της ιστορίας. Ε, καλά τώρα… καταλαβαίνεις πολύ καλά ότι με μια τέτοια υπόθεση δεν μπορούμε να αποδείξουμε τίποτα – είναι υπόθεση εργασίας.

    Όσον αφορά τον Einstein, πολλά από αυτά που έχει υποστηρίξει έχουν αποδειχτεί λανθασμένα – δε νομίζω να τον έχει κάποιος για γραφικό…
    Όπως και η Νευτώνεια Φυσική -που συνδέθηκε με τη φιλοσοφία της αιτιοκρατίας- αποδείχτηκε ότι δεν εξηγούσε τον κόσμο, δεν θεωρείται γραφική…
    Στο τέλος δε, του 19ου αιώνα, απέμενε να λυθεί το μυστήριο της ακτινοβολίας του Μέλανος Σώματος για να θεωρηθεί ότι η τότε φυσική έλυσε σχεδόν όλες τις απορίες. Ξέρεις τι επακολούθησε, έτσι?

    Αναφέρεσαι στο απόλυτο των θέσεών μου συμπεραίνοντας ότι δε γνωρίζω μαθηματικά. Ως φυσικός μάλλον κάποιες γνώσεις μαθηματικών έχω, όπως έχω και κάποια αντίληψη για την απροσδιοριστία/αβεβαιότητα κάποιων πραγμάτων.
    Εκεί που ήμουν απόλυτος, ήταν στο μηδενισμό που προωθείται μέσα από την απαίτησή να αποδείξω τα «τέσσερα τετράγωνα που αποτελούν ένα» ή το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Και εμπλεκόμενοι σε μια τέτοια συζήτηση, θέτοντάς το υπό αίρεση, να κάνουμε το ίδιο για κάθε τι που έπεται (να ο μηδενισμός!)
    Δεν θα μπω στον πειρασμό αυτό, είμαι σίγουρος ότι θα εμπλακούμε σε επίπεδο βασικών ορισμών και αξιωμάτων, πράγμα κουραστικό.

    Το αρχικό Post παρέθεσε τη θεωρία του υπερκύβου ως το πιο απλό στερεό τεσσάρων διαστάσεων (με μαθηματική προέκταση των λιγότερων διαστάσεων) και την προβολή του στον τρισδιάστατο χώρο ως τον μόνο τρόπο να πάρουμε μια «γεύση» περί τίνος πρόκειται.
    Και μάλιστα, το πως ο Salvador Dali αναπαράστησε στο έργο του την προβολή του θεϊκού και μη αντιληπτού, στο χώρο του ανθρωπίνως αισθητού. Μαθηματικά, Φυσική, Φιλοσοφία, Τέχνη πάνω σε έναν καμβά!
    Για εμένα, αυτό είναι το ΚΟΡΥΦΑΙΟ σημείο της συζήτησης, χωρίς βεβαίως να διεκδικείται η απόλυτη αλήθεια ή το φυσικομαθηματικό αλάθητο.

  6. ieromnimon μία πρώτη παρατήρηση είναι ότι έχω να κάνω με σοβαρό, αλλά κυρίως ήπιο συνομιλητή και αυτό με ικανοποιεί απόλυτα.
    1. Περί του Αϊνστάιν θα μου επιτρέψεις να μην επεκταθώ, τουλάχιστον σε αυτό το μέρος της συζήτησης που αφορά τον υπερκύβο. Θα παρατηρήσω μόνο ότι σε σχέση με την 4η διάσταση που υπεισέρχεται εμβόλιμα στις τρεις χωρικές διαστάσεις του Ευκλείδειου ή Νευτώνειου χώρου (κακώς ονομάζεται διάσταση), και στον τρόπο που αυτή αναδεικνύεται με έναν φαινομενικά ορθολογικό τρόπο στην αντίληψη του ταυτόχρονου «γεγονότος» τα δεδομένα που χρησιμοποιούνται δεν είναι και τόσο «βέβαια» ως προς την ορθότητά τους.
    Ποια είναι αυτά;
    Α. Το κατ` εξαίρεση του απόλυτου της ταχύτητας του φωτός. Πιστεύω (και έχω λόγους ικανούς να το στηρίξω) ότι το φως δεν εξαιρείται ως προς το απόλυτο, αλλά κάθε κίνηση και το μέτρο της (ταχύτητα) είναι απόλτη, είτε συγκριθεί με σταθερό, είτε συγκριθεί με μεταβλητό σημείο αναφοράς. Αυτός ο λόγος – αιτία είναι ικανός από μόνος του να καταστρέψει κάθε συλλογιστική στήριξη της θεωρίας της σχετικότητας και ελπίζω να μας δοθεί η ευκαιρία να το αποδείξουμε σε άλλο θέμα που θα αφορά τη σχετικότητα.
    Β. Η κυματική φύση του φωτός με την οποία αποκλειστικά συλλογάται ο Αϊνστάιν για θεμελίωση της θεωρίας του, είναι το ίδιο αβέβαιη.
    Γ. Η ιδιότητα του φωτός να μεταφέρει εικόνες στο χώρο γεγονός που αιτιολογεί την καθυστέρηση άφιξης του «ίδιου γεγονότος» σε παρατηρητές που απέχουν μεταξύ τους. Ούτε αυτή η ιδιότητα είναι βέβαιη και προς ερμηνεία του τι θέλω να πω…
    Δ. Η υπό χρήση πίστη, που αφορά τη «μεταφορά» του εικονικού περιβάλλοντος με τις ιδιότητες του φωτός στον οφθαλμό, όπου εισάγεται σαν ανεστραμμένο είδωλο και με αυτόματη διεργασία του εγκεφάλου αυτό αναστρέφεται εκ νέου και το βλέπουμε «όρθιο», δεν είναι καθόλου βέβαιη και δεν αφορά άλλους κλάδους της φυσικής, αλλά αποκλειστικά την οπτική. Είναι κατάχρηση να θεωρούμε ότι βλέπουμε «το εκεί εδώ» και όχι «από εδώ το εκεί». Υποστηρίζω ότι το φως είναι ένα μέσο που ενώνει το περιβάλλον με το οπτικό νεύρο συγκλίνοντας και εστιάζοντας με τους φακούς. Με την «εξοδική» όραση, ας την πούμε έτσι, όπου «από εδώ βλέπουμε το εκεί», στη θέση και την απόσταση που είναι, δεν χρειάζονται αναστροφές ειδώλων και αναστροφές των αναστροφών, διότι το φως που εισέρχεται κατ` αναστροφή δεν λειτουργεί ανάστροφα αλλά ανάστροφα του ανεστραμμένου αφού είναι «εξοδικό» για την αίσθηση της όρασης.
    Αλλά ας μην απομακρυνθούμε από το πυθαγόρειο.
    Λες: Γιατί αν εννοείς άθροιση σχημάτων μάλλον κάπου – κάτι ξεφεύγει.
    Εγώ αγαπητέ φίλε δεν μπορώ να εννοήσω αλλά απλά να καταγράψω τα εξής απλά:
    Α. Το πυθαγόρειο θεώρημα: Το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
    Επομένως γιατί να ομιλήσω εγώ περί άθροισης σχημάτων, όταν το κάνει ο ίδιος ο Πυθαγόρας;
    Β. Στα στοιχεία του Ευκλείδη δεν αναφέρεται καν η έκφραση εμβαδόν ή μέτρο επιφάνειας. Γιατί να ομιλήσω περί εμβαδού και εσύ που ομιλείς περί εμβαδού που στηρίζεσαι μέσα στο πλαίσιο της Ευκλείδειας γεωμετρίας;

    Θα σου υποβάλλω ένα φαινομενικά περίεργο ερώτημα και σε καλώ στα πλαίσια των δικών σου δυνατοτήτων να το απαντήσεις διότι εδώ δεν μπορείς να επικαλεστείς ότι είσαι φυσικός ή χημικός ή μηχανικός ή θεολόγος, αφού είναι το πρώτο που μαθαίνουμε από το δημοτικό σχολείο:
    Στην άθροιση 1+1=2, το άθροισμα 2, μπορεί να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του1;
    Οι ακέραιοι αριθμοί διακρίνονται κατά πλήθος (πλήθος 2 μονάδων πλήθος 3 μονάδων, … πλήθος χ μονάδων) και τάξη, 1ος, 2ος 3ος, ….. χος.
    Υπάρχει τρόπος να αιτιολογήσουμε ακέραιο 2 (πολλαπλάσιο) στην Ευκλείδεια γεωμετρία ή στους πραγματικούς ή στους ακέραιους ή στους φυσικούς αριθμούς;
    Μαθαίνουμε ότι 1 και 1 κάνει 2.
    Τι σημαίνει 2 όμως (ή 3, ή 4, ή …χ);
    Εάν μου απαντήσεις σε αυτό θα σου αποδείξω ότι το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο, είτε στη φύση, είτε με σχήματα, είτε στην πρακτική – εποπτική γεωμετρία, είτε με εμβαδά που είναι «μετατροπή» των σχημάτων σε ακέραιους αριθμούς, αφού:
    Σύμφωνα με το πυθαγόρειο, επί ορθογωνίου ισοσκελούς με μέτρο κάθετης πλευράς 1, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι 1+1=2 και το δύο εκφράζεται σαν ακέραιο πολλαπλάσιου του 1.
    Ξέρω ότι τα ακούς για πρώτη φορά αυτά, όμως η ανατροπή του πυθαγορείου σε μια στροφή της γεωμετρικής ιστορίας, μόλις πέρασε από τη στροφή που αναφερόμαστε.

    Λες: Ε, καλά τώρα… καταλαβαίνεις πολύ καλά ότι με μια τέτοια υπόθεση δεν μπορούμε να αποδείξουμε τίποτα – είναι υπόθεση εργασίας.

    Λέω: Μπορούμε να αποδείξουμε την ανατροπή και η υπόθεση από εργασίας να γίνει βέβαιη πράξη.
    Στη διάθεσή σου να αποκωδικοποιήσεις τον λόγο μου και να διαπιστώσεις ότι δεν ήταν πρόχειρος και κυρίως απαξιωτικός, διότι σέβομαι τον συνομιλητή που με σέβεται. Προσπάθησε να απαντήσεις στο αν το άθροισμα 2, εκ της αθροίσεως 1+1, μπορεί να δηλώνει ποτέ ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, όπως το τετράγωνο της υποτείνουσας δηλώνει διπλάσιο τετράγωνο του τετραγώνου της κάθετης πλευρά ισοσκελούς ορθογωνίου με μέτρο μήκους 1.
    Χαίρομαι που συνομιλώ μαζί σου ieromnimon

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s